『算法-ACM 竞赛-疯子的算法总结』14 ST 算法（区间最值）

疯子的算法总结 14–ST 算法（区间最值）

借助倍增和动态规划可以实现 O（1）的时间复杂度的查询

预处理：
① 区间 DP 转移方程 f[i][j] = min(MAX 同理)(f[i][j - 1],f[i + ][j - 1]) f[i][j]表示从 i 位置开始的后 2^j 个数中的最大值

用 f[i][j]表示从 j 到 j+2^i-1 的最小值（长度显然为 2^i）。
任意一段的最小值显然等于 min（前半段最小值，后半段最小值）。
那么 f[i][j]如何用其他状态来继承呢？
j 到 j+2^i-1 的长度为 2^i，那么一半的长度就等于 2^(i-1)。
那么前半段的状态表示为 f[i-1][j]。
后半段的长度也为 2^(i-1)，起始位置为 j+2^(i-1)。
那么后半段的状态表示为 f[i-1][j+2^(i-1)]。

② 不过区间在增加时，每次并不是增加一个长度，而是基于倍增思想，用二进制右移，每次增加 2^i 个长度 ，最多增加 logn 次

这样预处理了所有 2 的幂次的小区间的最值

关于倍增法链接

查询：
③ 对于每个区间，分成两段长度为的区间，再取个最值（这里的两个区间是可以有交集的，因为重复区间并不影响最值)

比如 3,4,6,5,3 一种分成 3,4,6 和 6,5,3，另一种分成 3,4,6 和 5,3，最大值都是 6，没影响。

首先明确 2^log(a)>a/2
这个很简单，因为 log(a)表示小于等于 a 的 2 的最大几次方。比如说 log(4)=2,log(5)=2,log(6)=2,log(7)=2,log(8)=3,log(9)=3…….
那么我们要查询 x 到 y 的最小值。设 len=y-x+1,t=log(len),根据上面的定理：2^t>len/2,从位置上来说，x+2^t 越过了 x 到 y 的中间！
因为位置过了一半,所以 x 到 y 的最小值可以表示为 min(从 x 往后 2^t 的最小值，从 y 往前 2^t 的最小值),前面的状态表示为 f[t][x]
设后面（从 y 往前 2^t 的最小值）的初始位置是 k，那么 k+2^t-1=y，所以 k=y-2^t+1,所以后面的状态表示为 f[t][y-2^t+1]
所以 x 到 y 的最小值表示为 f(f[t][x],f[t][y-2^t+1])，所以查询时间复杂度是 O（1）

④ 所以 O(nlogn)预处理，O(1)查询最值 但不支持修改
预处理时间复杂度 O（nlogn），查询时间 O（1）。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
using namespace std;
int map[1000005][20];
int N,K;
void work()
{
    int i,j;
    for(j=1;1<<j<=N;j++)
    for(i=1;i+(1<<j)-1<=N;i++)//i+(1<<j)-1<=n是为了保证区间左端点不超出总数n
    map[i][j]=min(map[i][j-1],map[i+(1<<j-1)][j-1]);//实质是动态规划
}
int question(int z,int y)
{
    int x=int (log(y-z+1)/log(2));//注意y-z要加一才为区间长度
    return min(map[z][x],map[y-(1<<x)+1][x]);//分别以左右两个端点为基础，向区间内跳1<<x的最
//大值;
}
int main()
{

    scanf("%d",&N);//输入数据总数
    scanf("%d",&K);//输入询问次数k
    for(int i=1;i<=N;i++)
    scanf("%d",&map[i][0]);//数据输入加初始化，即从i开始向右走2的0次方的区间中的最大值，（注//意i到i的长度为一）。
    work();//预处理
    for(int i=1;i<=K;i++)

    {

        int a,b;
            scanf("%d%d",&a,&b);
            printf("%d ",question(a,b));//输出结果
        }
    return 0;
}