『算法-ACM 竞赛-数学-数论』莫比乌斯反演

一、莫比乌斯反演涉及知识 1.莫比乌斯函数 2.莫比乌斯的线性筛法 3.狄利克雷卷积 4.莫比乌斯反演详解 5.整除法分块 6.杜教筛

二、μ 莫比乌斯函数定义

$μ(n)=\begin{cases}
1& \text{n=1}\
(-1)^k& \text{n= P1P2P3*…*Pk(其中P是质数)}\
0& \text{else其他情况}
\end{cases}$

也就是说如果 n 有平方质因子的话就为 0。

三、莫比乌斯线性筛

int  prime[MAXN],prime_tot;
bool isprime[MAXN];
int mu[MAXN];
void pre_calc(int  limt)
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=limt;i++)
    {
        if(!isprime[i]){
            prime[prime_tot]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for (int j=1;j<prime_tot;j++)
        {
            if(i*prime[j]>lim) break;
            isprime[i*prime[j]]= ture;
            if(i %prime[j]==0) {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }else{
                mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            }
        }
    }
}

四、狄利克雷卷积
(f*g)(n)=$\sum_{d|n}f(d)g( \frac{n}{d})$

*积性函数指对于所有互质的整数 a 和 b 有性质 f(ab)=f(a)f(b)的数论函数。
完全积性函数不需要互质既有 f(ab)=f(a) * f(b)**

$欧拉函数 φ(n) \
莫比乌斯函数，关于非平方数的质因子数目μ(n) \
最大公因子，当k固定的情况 gcd(n,k) \
单位函数Id(n)=n\
不变函数 1(n) =n\
因子数目 d(n) d=11\
因子之和函数σ(n) σ=1Id\
因子函数 σk(n) \
幂函数Idk(n)=n^k\
狄利克雷卷积单位元ε=[n==1]\ \ \ \ \ 当n=1时ε=1其他等于0 \
刘维尔函数 λ(n) 关于能整除n的质因子的数目$

定理 μ*1=ε

五、莫比乌斯反演

莫比乌斯反演的公式就在上面，通过好确定的 g(n)简化对 f(n) 的 求解就是莫比乌斯反演的精髓，而狄利克雷卷积就是到处这个公式（即证明的主要方法）