『算法-ACM 竞赛-数学-数论』直角三角形-勾股数—奇偶数列法则 a^2+b^2=c^2

先说勾股数：

勾股数，又名毕氏三元数 。勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。勾股定理：直角三角形两条直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方（a²+b²=c²）

勾股数规律：

首先是奇数组口诀：平方后拆成连续两个数。

其次是偶数组口诀：平方的一半再拆成差 2 的两个数。

我们深挖一下口诀

定理： 如 a^2+b^2=c^2 是直角三角形的三个整数边长，则必有如下 a 值的奇数列、偶数列关系成立；

1.直角三角形$a^2+b^2=c^2$奇数列 a 法则：
若 a 表为 2n+1 型奇数（n=1、2、3 …）， 则 a 为奇数列平方整数解的关系是：
$a=2n+1 \
b= n^2+（n+1）^2-1 \
c= n^2+（n+1）^2$
证明：
$由勾股弦定理，若abc为直角三角形三边整数时必有a^2+b^2=c^2关系成立。\
现将奇数列a法则条件代入勾股弦定理得到下式： \
（2n+1）^2+（n^2+（n+1）^2-1）^2=（n^2+（n+1）^2）^2$
$化简后得到： 4n^4+8n^3+8n^2+4n+1=4n^4+8n^3+8n^2+4n+1
即等式关系成立； \
由法则条件分别取n=1、2、3 … 时得到了： \
3^2+4^2=5^2 \
5^2+12^2=13^2 \
7^2+24^2=25^2 \
9^2+40^2=41^2 \
11^2+60^2=61^2 \
13^2+84^2=85^2\
故得到奇数列a法则成立$
2.直角三角形$a^2+b^2=c^2$的偶数列 a 法则：
若 a 表为 2n 型偶数（n=2、3、4…）， 则 a 为偶数列平方整数解的关系是：
$a= 2n \
b= n^2 -1 \
c= n^2+1$
证明：
$由勾股弦定理，若abc为直角三角形三边整数时必有a^2+b^2=c^2关系成立.\现将偶数列a法则条件代入勾股弦定理得到下式： \
(2n）^2+（n^2-1）^2=（n^2+1）^2 \
化简后得到： \
n^4+2n^2+1= n^4+2n^2+1 \
即等式关系成立； \
（这里需要说明，当取n=1时，有b= n2 –1=1-1=0，此时失去三角形意义，故只能取n=2、3、4…） \
由法则条件分别取n=2、3、4 … 时得到了： \
4^2+3^2=5^2 \
6^2+8^2=10^2 \
8^2+15^2=17^2 \
10^2+24^2=26^2 \
12^2+35^2=37^2 \
14^2+48^2=50^2 \
故得到偶数列a关系成立$