『算法-ACM 竞赛-数学-数论』整除分块（巨 TM 详细，学不会，你来打我）

1.概念
从一道例题说起
$在介绍整除分块之前，我们先来看一道算数题：
已知正整数n，求∑i=1n⌊ni⌋\begin{aligned}已知正整数n，求\sum_{i=1}^n \left⌊\dfrac{n}{i}\right⌋\end{aligned}$

我们写一个表格看一看 1-20 的整除是什么样子的

| i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| —————————– | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — |
| $\left⌊\dfrac{20}{i} \right⌋$ | 20 | 10 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 2 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |

表中同样的值会连续出现，而相同的值所划分的区间积是整出分块。整除的性质使得从 1 到 n 的数组表可根据数值划分为不同的分块，且分块数远远小于 n。利用这种性质，我们如果能推导出每个分块具体的左右端点位置在哪，这个问题就可以快速求解出来了。

2.整除分块公式推导

向下取整的情形
还是说我们的例题
$已知正整数n，求\sum_{i=1}^n \left⌊\dfrac{n}{i}\right⌋$
  假设我们已知某一个分块的左端点 lll，要求解出该分块的右端点 rrr。设该分块的数值为 kkk，对于该分块中的每个数 iii，有$k=\left⌊\dfrac{n}{i}\right⌋=\left⌊\dfrac{n}{l}\right⌋$，即$ik\le n$，也就是说我们找到可得使$ik\le n$成立的最大的 i 的值即是我们所求的右端点 r，因此我们可以得到下列式子:

$\begin{cases}k = \left⌊\dfrac{n}{l}\right⌋ \\space \r = \max (i), ik \le n\end{cases}$

推导可得：

$r= \left⌊\dfrac{n}{k}\right⌋=\left⌊\dfrac{n}{\left⌊\dfrac{n}{l}\right⌋ }\right⌋$

容易得到代码：

ans = 0;
for(int l = 1, r; l <= n; l = r + 1)
{
    r = n / (n / l);
    ans += n / l * (r - l + 1);
}

But 还没有结束

我们再看这一道题：

$\begin{aligned}已知正整数n, a, b, 求\sum_{i=1}^n \left⌊\dfrac{n}{ai + b} \right⌋\end{aligned}$

抓瞎了，但是变变形应该可以做。

我们记得

$\begin{cases}k = \left⌊\dfrac{n}{l}\right⌋ \\space \r = \max (i), ik \le n\end{cases}$
$r= \left⌊\dfrac{n}{k}\right⌋=\left⌊\dfrac{n}{\left⌊\dfrac{n}{l}\right⌋ }\right⌋$
以上两个公式，我们有如下
$\begin{cases}k = \left⌊\dfrac{n}{al+b}\right⌋ \\space \r = \max (i), (ai+b)k \le n\end{cases}$

上式子可推导为

但是对于这个题目，我们给出第二种推导方式，使得一种推导方式解决多种题目。

这我们再做
$\begin{aligned}已知正整数n, 求\sum_{i=1}^n \left⌊\dfrac{n}{i^2} \right⌋\end{aligned}$
我们按照上面的方式推导

不知道这时候有多少人偷笑，说自己把整除分块学会了，曾经以为自己是个王者，结果他爸来。

这个题你懵了吗，对于一对 L 和 R，中间的值是等差数列，相差 1，归根结底还是整除分块，还是找到 l 和 r，通过等差数列计算即可。
代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    long long n, k, ans = 0;
    long long left = 1, right, rest;
    scanf("%lld%lld", &n, &k);
    while (left <= n && left <= k) //求从1到min(n, k)内的总和
    {
        right = min(k / (k / left), n);
        rest = k % left;
        ans += (rest + rest - (right - left) * (k / left)) * (right - left + 1) / 2;
        left = right + 1;
    }
    if (n > k)
    {
        ans += k * (n - k);
    }
    cout << ans;
}

王者你会了吗？
王者自信满满的说自己会了！

王者再看看这个题

$已知正整数n，求\sum_{i=1}^n \left⌈\dfrac{n}{i}\right⌉$

没 4 没 4，我们就不推导向上取整了，这里只需要一个小转化，将向上取整转化为向下取整。
我们考虑没有整除的时候是不是就有
$\left⌈\dfrac{n}{i}\right⌉ =\left⌊\dfrac{n}{i}\right⌋+1$ 如果整除的时候就相等了，那么我们只要不加 1，我们加上$\dfrac{i-1}{i}$就可以避免这种情况，那么就可以转化为

通过上面向下取整的推到即可得到

到这里王者就可以独当一面了。