『算法-ACM 竞赛-数学-数论』康托展开与逆康托展开

康托展开

可以理解为把一个全排列映射到一个数上面，因为全排列如果按照从小到大或者从大到小，肯定是有一个确定的序列的。

一般是从小到大的序列个数。我们就是要求出这个序列的位置。，想法很简答，就是求出前面比他小的个数就可以了。

理解为一个每位都是阶乘进位的数转化为 10 进制的数。思路如下：
先准备求每一位的阶乘，然后从高位开始统计后面有多少个数比他小记录这个个位数，然后乘以后面个数的阶乘，再把它累加起来。

x[i]表示第 i 位后面比他小的个数,那么

$$
\sum_{1}^{N}x[i]*Fac[N-i]
$$

这样就能求出比他小的有多少个了，也能求出他是第几个序列。

//求出阶乘
void init(){
    Fac[0] = 1;
    for(int i=1;i<=N;++i){
        Fac[i] = Fac[i-1]*i;
    }
}

int kangtuo(int n,char a[])
{
    int i,j,t,sum;
    sum=0;
    for( i=0; i<n ;++i)
    {
        t=0;
        for(j=i+1;j<n;++j)
            if( a[i]>a[j] )
                ++t;
        sum+=t*fac[n-i-1];
    }
    return sum+1;
}

逆康托展开

相当于知道序列位置求这个位置的数。
想法也很简单，因为对于每位的 Fac[N-i]都比后面说有的和都大，所以用 pos/Fac[N-1]求得的就是 x[i],同理 pos%Fac[N-i]就是后面的和。

我们维护一个序列 st 始终按照从小到大排列，那么已知某位置的 x[i]，那么这个位置的数就是 st[x[i]+1]。

void init(){
    Fac[0] = 1;
    for(int i=1;i<=N;++i){
        Fac[i] = Fac[i-1]*i;
    }
}
void reverse_kangtuo(int n,int k,char s[])
{
    int i, j, t, vst[8]={0};
    --k;
    for (i=0; i<n; i++)
    {
        t = k/fac[n-i-1];
        for (j=1; j<=n; j++)
            if (!vst[j])
            {
                if (t == 0) break;
                --t;
            }
        s[i] = '0'+j;
        vst[j] = 1;
        k %= fac[n-i-1];
    }
}