『算法-ACM 竞赛』二叉堆(模板)

啥是二叉堆
二叉堆是一种特殊的堆，二叉堆是完全二元树（二叉树）或者是近似完全二元树（二叉树）。二叉堆有两种：最大堆和最小堆。最大堆：父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值；最小堆：父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值。

插入节点
在数组的最末尾插入新节点。然后自下而上调整子节点与父节点（称作 up-heap 或 bubble-up, percolate-up, sift-up, trickle up, heapify-up, cascade-up 操作）：比较当前节点与父节点，不满足堆性质则交换。从而使得当前子树满足二叉堆的性质。时间复杂度为 。
删除根节点
删除根节点用于堆排序。
对于最大堆，删除根节点就是删除最大值；对于最小堆，是删除最小值。然后，把堆存储的最后那个节点移到填在根节点处。再从上而下调整父节点与它的子节点：对于最大堆，父节点如果小于具有最大值的子节点，则交换二者。这一操作称作 down-heap 或 bubble-down, percolate-down, sift-down, trickle down, heapify-down, cascade-down,extract-min/max 等。直至当前节点与它的子节点满足堆性质为止。
构造二叉堆
一个直观办法是从单节点的二叉堆开始，每次插入一个节点。其时间复杂度为。
最优算法是从一个节点元素任意放置的二叉树开始，自底向上对每一个子树执行删除根节点时的 Max-Heapify 算法（这是对最大堆而言）使得当前子树成为一个二叉堆。具体而言，假设高度为 h 的子树均已完成二叉堆化，那么对于高度为 h+1 的子树，把其根节点沿着最大子节点的分枝做调整，最多需要 h 步完成二叉堆化。可以证明，这个算法的时间复杂度为 O(n)。
合并两个二叉堆
最优方法是把两个二叉堆首尾相连放在一个数组中，然后构造新的二叉堆。时间复杂度为，其中 n、k 为两个堆的元素数目。
如果经常需要合并两个堆的操作，那么使用二项式堆更好，其时间复杂度为。
实现：

// 二叉堆
int heap[SIZE], n;
void up(int p) {
	while (p > 1) {
		if (heap[p] > heap[p/2]) {
			swap(heap[p], heap[p/2]);
			p/=2;
		}
		else break;
	}
}
void down(int p) {
	int s = p*2;
	while (s <= n) {
		if (s < n && heap[s] < heap[s+1]) s++;
		if (heap[s] > heap[p]) {
			swap(heap[s], heap[p]);
			p = s, s = p*2;
		}
		else break;
	}
}
void Insert(int val) {
	heap[++n] = val;
	up(n);
}
int GetTop() {
	return heap[1];
}
void Extract() {
	heap[1] = heap[n--];
	down(1);
}
void Remove(int k) {
	heap[k] = heap[n--];
	up(k), down(k);
}